從漫畫學科學 - 做實驗

[生物]以下是實驗的相關資料︰
名稱(Title)︰遮斷日光
目的(Aim)︰測試巨人在不同光度下的活躍程度
獨立變量(Independent variable)︰光度的不同
因變量(Dependent variable)︰巨人的活躍性(精神/遲緩)
控制變量(Controlled variable)︰進行實驗的環境(在巨幕內進行)

咦？咁control set呢？叫人上城牆睇下牆外既巨人啦囧

[數學應用][遊戲數據] 《神魔之塔》 與 招差術(Finite Difference Method) + 一元二次方程(Quadratic Equation) + 曲線族(Family of Curves)

近來, 小弟在《神魔之塔》幫小怪升等的時候.
就想著, 累積經驗能否以數式表示?
於是乎就開始收集數據, 如下:

等級	累經	差分	二重差分
1	0	53	103
2	53	156	104
3	209	260	104
4	469	364	105
5	833	469	104
6	1302	573	104
7	1875	677	103
8	2552	780	105
9	3332	885	105
10	4217	990	103
11	5207	1093	104
12	6300	1197	105
13	7497	1302	104
14	8799	1406
15	10205

有關差分和二重差分的介紹, 可參看這裡︰「柏努利公式」和古代的「招差術」

其實看到二重差分不是常數, 就知道只能以估算方法處理:

f(n) = 0*C(n-1, 0)+53*C(n-1, 1)+104*C(n-1, 2)　　　　　

(注︰C(n, r) = n! / r! (n-r)! )

然後就會得到 f(n) = 52n^2-103n+51 作為初始的估算公式.

甚麼? 這不就是高一的 一元二次公式 , Quadratic Equation !?

可能你會問, 既然你都收集了15級的數據, 還要公式來幹什麼?

實際情況是, 這遊戲中不只是15級, 還是接著下來的99級.

還是, 這只是基數, 不同的小怪有不同的倍數(暫時已知有兩~六, 八 和 十倍)

如果單靠這初始估算式, 到兩倍的39級已有一百以上的誤差

(39級的估算累經: 150252, 39等的實際累經:150355)

而且, 等級越大 或 倍數越大, 誤差亦會越大 (約1%)

作為一個數學人, 當然是想辦法修正這誤差.

修正的念頭徘徊在腦海中約一星期.

直到留意到:

(1) 在17級前的數值是估算大於實際

(2) 在17級後的數值是估算小於實際

(3) 剛巧, 在17級的數據是估算=實際

於是, 想起以前學過 圓族, Family of Circles

那課是說, 如果有兩圓C1 , C2 相交與兩點,

那其餘穿過該兩點的圓形皆能以 C1  和 C2 的 方程來表達.

假設C1和C2的方程分別為 f(x,y) = 0 及 g(x,y)=0

那麼, 通過該兩點的某圓的分別為 f(x,y)+k*g(x,y)=0

(注︰如果f(x,y)和g(x,y)中的x^2 , y^2 互相抵消的話, 該方程的圖象為穿過該兩點的一直線, 數學上會稱之為 公共弦, common chord )

現在的情況很類似, 只不過是把圓形換成拋物線而已.

於是, 我依樣葫蘆地作以下嘗試:

初始估算方程, f(n,y) = 52n^2-103n+51 - y = 0

穿過1級和17級數據的直線, g(n,y) = 833(n-1) - y = 0

f(n,y)+k*g(n,y)=0, 再慢慢調整k的數值及以四捨五入方式處理,

終於得出更進一步的估算公式(感動T^T):

  h(n) = 52.0614n^2 - 104.105n + 52.0431 (需四捨五入)

其後更用手上的五倍, 直到50級的數據加以證實呢:

五倍經驗系列
估算	實際	差距
0	0	0
260	261	1
1041	1042	1
2343	2343	0
4165	4165	0
6508	6508	0
9372	9372	0
12756	12756	0
16660	16660	0
21086	21085	-1
26032	26031	-1
31498	31498	0
37485	37485	0
43993	43993	0
51021	51021	0
58570	58570	0
66640	66639	-1
75230	75230	0
84341	84340	-1
93972	93972	0
104125	104124	-1
114797	114796	-1
125990	125990	0
137704	137704	0
149939	149938	-1
162694	162693	-1
175970	175969	-1
189766	189765	-1
204083	204082	-1
218921	218920	-1
234279	234278	-1
250158	250157	-1
266557	266556	-1
283477	283476	-1
300918	300917	-1
318879	318878	-1
337361	337360	-1
356363	356362	-1
375886	375886	0
395930	395929	-1
416495	416494	-1
437579	437579	0
459185	459184	-1
481311	481310	-1
503958	503957	-1
527125	527125	0
550813	550813	0
575022	575021	-1
599751	599751	0
625001	625000	-1

數學無處不在, 當你在發掘的途中, 可能是個很好玩的經歷呢 =]